Toda bracket

　球面のhomotopy群の研究にToda bracketという日本の戸田先生が考えたアイデアが生かされている。４つの空間の列、
　　　　　　　　　　　　　

を考えたとき、gfとhgが共にnull homotoicである状況を考えると、そのhomotopyから

　　　　　　　　　　　　　

という２つのmapが誘導されるが、このとき、h、Cfをそれぞれ合成してあげると、２つの

というmapを得る事ができる。これらは、底面のXでは等しいので、これをさらに張り合わせると、結局、

というmapを得る事ができる。これは途中のhomotopyの選び方によらず、up to homotopyで一意に決まる。ということで、

　の元をf,g,hによって得る事ができる。これを、[f,g,h]と並べて書くことから、Toda bracketと呼ばれる。
　これは例えばXが球面のときなどは、１次元高いhomotopy群の元を求める事ができるため、homotopy群の計算に応用されているらしい。